4445. В остроугольном треугольнике ABC
проведены высоты BD
и AE
, пересекающиеся в точке P
. Докажите, что AB^{2}=AP\cdot AE+BP\cdot BD
.
Решение. Задача сводится к доказательству равенства
\frac{AP}{AB}\cdot\frac{AE}{AB}+\frac{BP}{AB}\cdot\frac{BD}{AB}=1.
Обозначим \angle BAE=\alpha
, \angle ABD=\beta
. Из прямоугольных треугольников ABE
и ABD
находим, что
\frac{AE}{AB}=\cos\alpha,~\frac{BD}{AB}=\cos\beta.
По теореме синусов
\frac{AP}{AB}=\frac{\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)},~\frac{BP}{AB}=\frac{\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}.
Следовательно,
\frac{AP}{AB}\cdot\frac{AE}{AB}+\frac{BP}{AB}\cdot\frac{BD}{AB}=\frac{\sin\beta\cos\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}+\frac{\sin\alpha\cos\beta}{\sin(\alpha+\beta)}=
=\frac{\sin\beta\cos\alpha+\sin\alpha\cos\beta}{\sin(\alpha+\beta)}=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha+\beta)}=1,
что и требовалось доказать.
Автор: Фомин Д. В.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1994 г., отборочный тур, 11 класс
Источник: Берлов С. Л., Иванов С. В., Кохась К. П. Петербургские математические олимпиады. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2003. — с. 31