4447. В треугольнике ABC
точка D
лежит на стороне AC
, углы ABD
и BCD
равны, AB=CD
, AE
— биссектриса угла A
. Докажите, что ED
параллельно AB
.
Решение. Треугольники ABD
и ACB
подобны по двум углам (\angle ABD=\angle ACB
по условию, угол при вершине A
— общий). Значит,
\frac{CA}{AB}=\frac{AB}{AD}=\frac{CD}{AD}
(так как AB=CD
). С другой стороны, по свойству биссектрисы треугольника
\frac{CA}{AB}=\frac{CE}{BE}.
Поэтому
\frac{CD}{AD}=\frac{CE}{BE}.
Отсюда и из теоремы о пропорциональных отрезках следует, что DE\parallel AB
.