4449. В ромбе ABCD
на стороне BC
нашлась такая точка E
, что AE=CD
. Отрезок ED
пересекается с описанной окружностью треугольника AEB
в точке F
. Докажите, что точки A
, F
и C
лежат на одной прямой.
Решение. Обозначим \angle BAF=\alpha
. Тогда
\angle FEC=180^{\circ}-\angle BEF=\alpha,
так как четырёхугольник ABEF
— вписанный. Поскольку AECD
равнобедренная трапеция, то
\angle ACE=\angle DEC=\angle FEC=\alpha.
Углы при основании AC
равнобедренного треугольника ABC
равны, поэтому
\angle BAC=\angle BCA=\alpha.
Значит, \angle BAC=\angle BAF
. Следовательно, точки A
, F
и C
лежат на одной прямой.