4449. В ромбе ABCD
на стороне BC
нашлась такая точка E
, что AE=CD
. Отрезок ED
пересекается с описанной окружностью треугольника AEB
в точке F
. Докажите, что точки A
, F
и C
лежат на одной прямой.
Решение. Обозначим \angle BAF=\alpha
. Тогда
\angle FEC=180^{\circ}-\angle BEF=\alpha,
так как четырёхугольник ABEF
— вписанный. Поскольку AECD
равнобедренная трапеция, то
\angle ACE=\angle DEC=\angle FEC=\alpha.
Углы при основании AC
равнобедренного треугольника ABC
равны, поэтому
\angle BAC=\angle BCA=\alpha.
Значит, \angle BAC=\angle BAF
. Следовательно, точки A
, F
и C
лежат на одной прямой.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1995 г., первый тур, 10 класс
Источник: Берлов С. Л., Иванов С. В., Кохась К. П. Петербургские математические олимпиады. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2003. — с. 40