4450. BD
— биссектриса треугольника ABC
. Точка E
выбрана так, что \angle EAB=\angle ACB
, AE=DC
, и при этом отрезок ED
пересекается с отрезком AB
в точке K
. Докажите, что KE=KD
.
Указание. Опустите перпендикуляры из точек D
и E
на AB
и из точки D
на BC
.
Решение. Пусть X
и Y
— проекции на прямую AB
точек E
и D
соответственно, а Z
— проекция точки D
на прямую BC
. Точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон, поэтому DY=DZ
. С другой стороны, из равенства прямоугольных треугольников AXE
и CZD
(по гипотенузе и острому углу) следует, что DZ=EX
. Значит, DY=EX
. Тогда прямоугольные треугольники KDY
и KEX
равны по катету и противолежащему острому углу. Следовательно, KE=KD
.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1995 г., второй тур, 8 класс
Источник: Берлов С. Л., Иванов С. В., Кохась К. П. Петербургские математические олимпиады. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2003. — с. 45