4453. Внутри параллелограмма ABCD
выбрана точка O
, причём \angle OAD=\angle OCD
. Докажите, что \angle OBC=\angle ODC
.
Решение. Первый способ. Пусть при параллельном переносе на вектор \overrightarrow{AD}
точка O
перешла в точку E
(рис. 1). Тогда AOED
— параллелограмм, поэтому
\angle OED=\angle OAD=\angle OCD.
Из точек C
и E
, лежащих по одну сторону от прямой OD
, отрезок OD
виден под одним и тем же углом, поэтому точки C
, E
, O
и D
лежат на одной окружности. Вписанные в эту окружность углы ODC
и OEC
опираются на одну и ту же дугу, значит, \angle ODC=\angle OEC
, а так как BOEC
— параллелограмм, то \angle OEC=\angle OBC
. Следовательно, \angle OBC=\angle ODC
.
Второй способ. Пусть прямая, проведённая через точку O
параллельно сторонам AD
и BC
, пересекает стороны AB
и CD
соответственно в точках K
и M
(рис. 2), а прямая, проведённая через точку O
параллельно сторонам AB
и CD
, пересекает стороны BC
и AD
соответственно в точках L
и N
.
Тогда
\angle CMO=\angle CDA=\angle ONA,
а так как по условию задачи \angle OAN=\angle OCM
, то треугольники OAN
и OCM
подобны по двум углам. Поэтому \frac{AN}{CM}=\frac{ON}{OM}
.
Поскольку \angle OLB=\angle OND
и при этом
\frac{BL}{LO}=\frac{AN}{CM}=\frac{ON}{OM}=\frac{DM}{OM},
то треугольники OBL
и ODM
подобны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, \angle LBO=\angle ODM
, что и требовалось доказать.