4461. AH
— высота остроугольного треугольника ABC
, K
и L
— основания перпендикуляров, опущенных из точки H
на стороны AB
и AC
. Докажите, что точки B
, K
, L
и C
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть точки K
и L
лежат на сторонах AB
и AC
соответственно. Из точек K
и L
отрезок AH
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AH
. Обозначим \angle BAH=\beta
. Тогда по теореме о вписанных углах
\angle KLH=\angle KAH=\angle BAH=\beta.
Поэтому
\angle KLC=\angle KLH+\angle CLH=\beta+90^{\circ},
а так как
\angle KBC=\angle ABH=90^{\circ}-\beta,
то \angle KLC+\angle KBC=180^{\circ}
, т. е. четырёхугольник KBCL
— вписанный. Отсюда следует утверждение задачи.