4461. AH
— высота остроугольного треугольника ABC
, K
и L
— основания перпендикуляров, опущенных из точки H
на стороны AB
и AC
. Докажите, что точки B
, K
, L
и C
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть точки K
и L
лежат на сторонах AB
и AC
соответственно. Из точек K
и L
отрезок AH
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AH
. Обозначим \angle BAH=\beta
. Тогда по теореме о вписанных углах
\angle KLH=\angle KAH=\angle BAH=\beta.
Поэтому
\angle KLC=\angle KLH+\angle CLH=\beta+90^{\circ},
а так как
\angle KBC=\angle ABH=90^{\circ}-\beta,
то \angle KLC+\angle KBC=180^{\circ}
, т. е. четырёхугольник KBCL
— вписанный. Отсюда следует утверждение задачи.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1996 г., первый тур, 10 класс
Источник: Берлов С. Л., Иванов С. В., Кохась К. П. Петербургские математические олимпиады. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2003. — с. 63