4462. На диагонали BD
вписанного четырёхугольника ABCD
выбрана такая точка K
, что \angle AKB=\angle ADC
. Пусть I
и I'
— центры вписанных окружностей треугольников ACD
и ABK
соответственно. Отрезки II'
и BD
пересекаются в точке X
. Докажите, что точки A
, X
, I
, D
лежат на одной окружности.
Решение. В треугольниках ABK
и ACD
углы AKB
и ADC
равны по условию, а \angle ABK=\angle ABD=\angle ACD
как вписанные; значит, эти треугольники подобны. Следовательно, треугольник ABK
переходит в треугольник ACD
при поворотной гомотетии с центром A
(т. е. при повороте на угол BAC
и последующей гомотетии с коэффициентом \frac{AC}{AB}
).
При этой поворотной гомотетии точка I'
переходит в точку I
(так как I'
и I
— соответственные точки подобных треугольников ABK
и ACD
), поэтому \angle I'AI=\angle BAC
и \frac{AI}{AI'}=\frac{AC}{AB}
. Значит, треугольник AII'
подобен треугольнику ACB
, откуда
\angle AIX=\angle AII'=\angle ACB.
Но \angle ACB=\angle ADB
, откуда \angle AIX=\angle ADX
. Следовательно, точки A
, X
, I
, D
лежат на одной окружности.
Автор: Гаврилюк А. А.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2007-2008, XXXIV, окружной этап, 11 класс