4464. M
— середина стороны BC
треугольника ABC
, r_{1}
и r_{2}
— радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABM
и ACM
. Докажите, что r_{1}\lt2r_{2}
.
Решение. Предположим, что r_{1}\geqslant2r_{2}
. Поскольку
r_{1}=\frac{2S_{\triangle AMB}}{AB+BM+MA},~r_{2}=\frac{2S_{\triangle AMC}}{AC+CM+MA}
и S_{\triangle AMB}=S_{\triangle AMC}
, это неравенство можно записать в виде
AC+CM+MA\geqslant2(AB+BM+MA).
Тогда
AC\geqslant2AB+AM+MC\gt AM+MC,
что противоречит неравенству треугольника.
Автор: Храбров А. И.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1996 г., второй тур, 10 класс
Источник: Берлов С. Л., Иванов С. В., Кохась К. П. Петербургские математические олимпиады. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2003. — с. 71