4465. В выпуклом пятиугольнике ABCDE
известно, что AB=BC
, \angle ABE+\angle DBC=\angle EBD
и \angle AEB+\angle BDC=180^{\circ}
. Докажите, что ортоцентр треугольника BDE
лежит на диагонали AC
.
Решение. На стороне AB
пятиугольника ABCDE
построим вне пятиугольника треугольник BAE_{1}
равный треугольнику BCD
. Тогда, поскольку BE_{1}=BD
и \angle E_{1}BE=\angle EBD
, треугольники E_{1}BE
и DBE
равны. Четырёхугольник AE_{1}BE
вписанный, так как
\angle AEB+\angle AE_{1}B=\angle AEB+\angle BDC=180^{\circ}.
Заметим, что тогда ортоцентр O
треугольника BDE
также лежит на описанной окружности четырёхугольника AE_{1}BE
, так как
\angle EOB+\angle EE_{1}B=\angle EOB+\angle EDB=180^{\circ}.
Тогда \angle BOA=\angle BEA
. Аналогично докажем, что \angle BOC=\angle BDC
. Значит,
\angle AOC=\angle AOB+\angle BOC=180^{\circ},
и точка O
лежит на прямой AC
.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1996 г., второй тур, 10 класс
Источник: Берлов С. Л., Иванов С. В., Кохась К. П. Петербургские математические олимпиады. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2003. — с. 72
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2001, № 5, задача 6, с. 304