4467. BD
— биссектриса треугольника ABC
. Описанная окружность треугольника BDC
пересекает отрезок AB
в точке E
, описанная окружность треугольника ABD
пересекает отрезок BC
в точке F
. Докажите, что AE=CF
.
Указание. Равные вписанные углы опираются на равные хорды.
Решение. Поскольку BD
— биссектриса вписанного в окружность угла ABF
, то AD=DF
. Аналогично, ED=DC
. Четырёхугольник BCDE
— вписанный, поэтому
\angle ADE=180^{\circ}-\angle CDE=\angle CBE=\angle ABC.
Аналогично, \angle CDF=\angle ABC
. Значит, треугольники ADE
и FDC
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AE=CF
.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1996 г., отборочный тур, 9 класс
Источник: Берлов С. Л., Иванов С. В., Кохась К. П. Петербургские математические олимпиады. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2003. — с. 74