4468. В треугольнике ABC
угол при вершине A
равен 60^{\circ}
. Внутри треугольника взята такая точка O
, что \angle AOB=\angle AOC=120^{\circ}
. Точки D
и E
— середины сторон AB
и AC
. Докажите, что четырёхугольник ADOE
— вписанный.
Решение. Обозначим \angle OBA=\alpha
. Тогда
\angle BAO=180^{\circ}-\angle AOB-\angle ABO=180^{\circ}-120^{\circ}-\alpha=60^{\circ}-\alpha.
Значит,
\angle OAC=\angle BAC-\angle BAO=60^{\circ}-(60^{\circ}-\alpha)=\alpha.
Поэтому треугольники AOB
и COA
подобны по двум углам. Тогда
\frac{BD}{AE}=\frac{AB}{AC}=\frac{BO}{AO},
значит, треугольники OBD
и OAE
подобны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,
\angle OEA=\angle ODB=180^{\circ}-\angle ODA,
и около четырёхугольника ADOE
можно описать окружность.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1996 г., отборочный тур, 9 класс
Источник: Берлов С. Л., Иванов С. В., Кохась К. П. Петербургские математические олимпиады. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2003. — с. 74