4469. На сторонах AB
и BC
треугольника ABC
отложены равные отрезки AE
и CF
соответственно. Окружность, проходящая через точки B
, C
, E
, и окружность, проходящая через точки A
, B
, F
, пересекаются в точках B
и D
. Докажите, что BD
— биссектриса угла ABC
.
Решение. Четырёхугольник BCDE
— вписанный, поэтому
\angle FCD=\angle BCD=180^{\circ}-\angle BED=\angle AED.
Аналогично докажем, что \angle DAE=\angle CFD
. Значит, треугольники CFD
и EAD
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Высоты DP
и DQ
этих треугольников, проведённые из соответствующих вершин, равны, поэтому точка D
равноудалена от сторон BA
и BC
угла ABC
. Следовательно, BD
— биссектриса этого угла.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1996 г., отборочный тур, 10 класс
Источник: Берлов С. Л., Иванов С. В., Кохась К. П. Петербургские математические олимпиады. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2003. — с. 76