4470. Середины сторон выпуклого шестиугольника образуют шестиугольник, противоположные стороны которого параллельны. Докажите, что большие диагонали исходного шестиугольника пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть ABCDEF
— исходный шестиугольник, P
, Q
, R
, S
, T
, U
середины его сторон AB
, BC
, CD
, DE
, EF
, FA
соответственно. Тогда по теореме о средней линии треугольника PU\parallel BF
и RS\parallel CE
, а так как по условию PU\parallel RS
, то BF\parallel CE
. Аналогично, BD\parallel AE
и DF\parallel AC
. Поэтому стороны треугольника BDF
, соответственно параллельны сторонам треугольника ACE
. Значит, эти треугольники гомотетичны. Их центр гомотетии и есть точка пересечения больших диагоналей исходного шестиугольника.
Автор: Исмаилов Р.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1996 г., отборочный тур, 10 класс
Источник: Берлов С. Л., Иванов С. В., Кохась К. П. Петербургские математические олимпиады. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2003. — с. 77