4473. На боковых сторонах AB
и CD
трапеции ABCD
можно выбрать такие точки K
и L
соответственно, что отрезок KL
не параллелен основаниям и делится диагоналями на три равные части. Найдите отношение оснований трапеции.
Ответ. 2.
Решение. Первый способ. Не умаляя общности, можно считать, что точка пересечения диагоналей трапеции лежит внутри четырёхугольника KBCL
. Пусть AD=x
, BC=y
. Обозначим площади треугольников BCL
, BLD
, BCK
и CKA
через S_{1}
, S_{2}
, S_{3}
и S_{4}
соответственно.
Пусть отрезок KL
пересекает диагональ BD
в точке M
. Если KP
и LQ
— высоты треугольников BKD
и BLD
, опущенные на общее основание BD
, то из подобия прямоугольных треугольников KPM
и LQM
следует, что
\frac{KP}{LQ}=\frac{KM}{ML}=2.
Тогда
S_{2}=S_{\triangle BLD}=\frac{1}{2}S_{\triangle BKD}.
С другой стороны, высоты, опущенные из вершин соответственно D
и C
треугольников BKD
и BCK
их общее основание BK
относятся как AD:BC
, значит, так же относятся и их площади. Поэтому
S_{2}=\frac{1}{2}S_{\triangle BKD}=\frac{1}{2}\cdot\frac{x}{y}S_{\triangle BCK}=\frac{1}{2}\cdot\frac{x}{y}S_{3}.
Аналогично докажем, что S_{4}=\frac{1}{2}\cdot\frac{x}{y}S_{1}
. Из доказанных равенств следует, что S_{1}S_{2}=S_{3}S_{4}
. Кроме того, очевидно, что S_{1}+S_{2}=S_{3}+S_{4}
. Тогда по теореме, обратной теореме Виета, либо S_{1}=S_{3}
и S_{2}=S_{4}
, либо S_{1}=S_{4}
и S_{2}=S_{3}
.
Первое невозможно, так как отрезок KL
не параллелен основаниям трапеции, а во втором случае сразу получаем, что \frac{x}{y}=2
.
Второй способ. Введём обозначения как показано на рисунке. Из подобия треугольников AKE
и FKB
, CGF
и AGE
, BMF
и DME
, DLE
и CLF
находим, что
\frac{y}{z+3x}=\frac{d}{a+c},~\frac{z+2x}{y+x}=\frac{c}{d},~\frac{z+x}{y+2x}=\frac{a+c}{b+d},~\frac{y+3x}{z}=\frac{b+d}{c}.\quad(*)
Перемножим эти равенства:
\frac{y(y+3x)\cdot(z+2x)(z+x)}{z(z+3x)\cdot(y+2x)(y+x)}=\frac{d}{a+c}\cdot\frac{c}{d}\cdot\frac{a+c}{b+d}\cdot\frac{b+d}{c}=1,~
(y^2+3xy)(z^2+3xz+2x^2)=(z^2+3xz)(y^2+3xy+2x^2).
Положим Y=y^2+3xy+x^2
, Z=z^2+3xz+x^2
. Имеем:
(Y-x^2)(Z+x^2)=(Z-x^2)(Y+x^2),~YZ+x^2(Y-Z)-x^4=YZ+x^2(Z-Y)-x^4,~
Y-Z=Z-Y,~Y-Z=0,~y^2+3xy+x^2-z^2-3zx-x^2=0,~
(y+z)(y-z)+3x(y-z)=0,~(y+z+3x)(y-z)=0.
Следовательно, y=z
, а пропорции (*)
можно переписать в виде
\frac{y}{y+3x}=\frac{d}{a+c},~\frac{y+2x}{y+x}=\frac{c}{d},~\frac{y+x}{y+2x}=\frac{a+c}{b+d},~\frac{y+3x}{y}=\frac{b+d}{c}.
Отсюда
\frac{b}{a+c}=\frac{b+d}{a+c}-\frac{d}{a+c}=\frac{y+2x}{y+x}-\frac{y}{y+3x}=\frac{4xy+6x^2}{(y+x)(y+3x)},~
\frac{a}{b+d}=\frac{a+c}{b+d}-\frac{c}{b+d}=\frac{y+x}{y+2x}-\frac{y}{y+3x}=\frac{2xy+3x^2}{(y+2x)(y+3x)},~
\frac{b}{a}=\frac{b}{a+c}\cdot\frac{a+c}{b+d}\cdot\frac{b+d}{a}=
=\frac{4xy+6x^2}{(y+x)(y+3x)}\cdot\frac{y+x}{y+2x}\cdot\frac{(y+2x)(y+3x)}{2xy+3x^2}=\frac{4xy+6x^2}{2xy+3x^2}=2.