4476. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
углы при вершинах A
и D
равны. Серединные перпендикуляры к сторонам AB
и CD
пересекаются в точке P
, лежащей на стороне AD
. Докажите, что диагонали AC
и BD
равны.
Решение. Точка P
лежит на серединных перпендикулярах к отрезкам AB
и CD
, поэтому треугольники ABP
и CDP
— равнобедренные, AP=BP
и CP=DP
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle BPD=\angle ABP+\angle BAP=2\angle BAD,~\angle APC=\angle DCP+\angle CDP=2\angle ADC,
а так как \angle BAD=\angle ADC
, то треугольники BPD
и APC
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, BD=AC
.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1997 г., первый тур, 9 класс
Источник: Агаханов Н. Х., Подлипский О. К. Математика. Районные олимпиады. — М.: Просвещение, 2010. — 1997, № 103, с. 55, 8 класс, задача 2
Источник: Берлов С. Л., Иванов С. В., Кохась К. П. Петербургские математические олимпиады. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2003. — с. 87
Источник: Мерзляк А. Г., Поляков В. М. Геометрия. 8 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2019. — № 1.26, с. 11