4476. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
углы при вершинах A
и D
равны. Серединные перпендикуляры к сторонам AB
и CD
пересекаются в точке P
, лежащей на стороне AD
. Докажите, что диагонали AC
и BD
равны.
Решение. Точка P
лежит на серединных перпендикулярах к отрезкам AB
и CD
, поэтому треугольники ABP
и CDP
— равнобедренные, AP=BP
и CP=DP
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle BPD=\angle ABP+\angle BAP=2\angle BAD,~\angle APC=\angle DCP+\angle CDP=2\angle ADC,
а так как \angle BAD=\angle ADC
, то треугольники BPD
и APC
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, BD=AC
.