4478. На сторонах AB
, BC
и AC
треугольника ABC
выбраны соответственно точки C_{1}
, A_{1}
и B_{1}
, причём отрезки AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
пересекаются в одной точке. Прямая, проходящая через точку B_{1}
параллельно AA_{1}
, пересекает отрезок CC_{1}
в точке B_{2}
, Прямая, проходящая через точку C_{1}
параллельно AA_{1}
, пересекает отрезок BB_{1}
в точке C_{2}
. Докажите, что прямые BC
, B_{1}C_{1}
и B_{2}C_{2}
пересекаются в одной точке или параллельны.
Решение. Точки пересечения прямых C_{1}C_{2}
и B_{1}B_{2}
со стороной BC
обозначим через C_{3}
и B_{3}
соответственно. Точку пересечения отрезков AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
обозначим через O
. Пусть среди прямых BC
, B_{1}C_{1}
и B_{2}C_{2}
есть непараллельные, например, BC
и B_{2}C_{2}
(другие случаи разбираются аналогично). Обозначим их точку пересечения через D
.
Треугольник CB_{2}B_{3}
подобен треугольнику COA_{1}
, а треугольник CB_{1}B_{2}
— треугольнику CAO
, причём с тем же коэффициентом подобия. Значит, \frac{B_{2}B_{3}}{B_{2}B_{1}}=\frac{A_{1}O}{AO}
. Аналогично, \frac{C_{2}C_{3}}{C_{2}C_{1}}=\frac{A_{1}O}{AO}
. Поэтому \frac{B_{2}B_{3}}{C_{2}C_{3}}=\frac{B_{2}B_{1}}{C_{2}C_{1}}
.
Рассматривая отрезки B_{1}B_{2}
, B_{2}B_{3}
, C_{1}C_{2}
, C_{2}C_{3}
, лежащие на параллельных прямых, и прямые DB_{1}
, DB_{2}
, DB_{3}
, мы видим, что прямая DB_{1}
должна проходить через точку C_{1}
. Что и требовалось доказать.