4479. Точки K
и N
— середины сторон AB
и CD
четырёхугольника ABCD
. Отрезки BN
и KC
пересекаются в точке O
. Точки пересечения прямых AO
и DO
со стороной BC
делят отрезок BC
на три равные части. Докажите, что ABCD
— параллелограмм.
Решение. Пусть AO
пересекает сторону BC
в точке A_{1}
, а DO
— в точке D_{1}
. Тогда KD_{1}
— средняя линия треугольника ABA_{1}
. Значит, KD_{1}\parallel AA_{1}
, поэтому OA_{1}
— средняя линия треугольника CKD_{1}
. Тогда CO=OK
. Аналогично, BO=ON
. Значит, KBCN
— параллелограмм. Следовательно, ABCD
— также параллелограмм.
Примечание. Верно и обратное: в любом параллелограмме прямые AO
и DO
делят сторону BC
на три равные части.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1997 г., второй тур, 9 класс
Источник: Берлов С. Л., Иванов С. В., Кохась К. П. Петербургские математические олимпиады. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2003. — с. 94