4481. Биссектриса угла A
параллелограмма ABCD
пересекает прямые BC
и CD
в точках X
и Y
. Точка A'
симметрична точке A
относительно прямой BD
. Докажите, что точки C
, X
, Y
и A'
лежат на одной окружности.
Решение. Поскольку
\angle AXB=\angle XAD=\angle XAB,
треугольник ABX
— равнобедренный, BX=AB
. Аналогично, треугольник ADY
— также равнобедренный, DY=AD
.
Точка A'
симметрична точке A
относительно прямой BD
, поэтому
DA'=DA=DY,~BA'=BA=BX.
Значит, точки A
, Y
и A'
лежат на окружности с центром D
, а точки A
, X
и A'
— на окружности с центром B
.
Пусть AB\gt BC
. Тогда точка Y
расположена между точками A
и X
, точки A'
и D
лежат по одну сторону от прямой AX
, а B
и C
— по другую.
Обозначим, \angle ADC=\angle ABC=\alpha
. Поскольку угол AA'Y
вписан в окружность с центром D
, а ADY
— соответствующий ему центральный угол этой окружности, то \angle AA'Y=\frac{\alpha}{2}
. Поскольку угол AA'X
вписан в окружность с центром B
, то
\angle AA'X=\frac{1}{2}(360^{\circ}-\alpha)=180^{\circ}-\frac{\alpha}{2}.
Тогда
\angle XA'Y=\angle A'AX-\angle AA'Y=\left(180^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)-\frac{\alpha}{2}=180^{\circ}-\alpha,
а так как \angle XCY=\angle ABC=\alpha
, то четырёхугольник A'XCY
— вписанный.
Случай AB\lt BC
сводится к рассмотренному переобозначением вершин B
и D
.