4483. Вписанную окружность спроецировали на стороны треугольника. Докажите, что шесть концов проекций принадлежат одной окружности.
Решение. Заметим, что точка касания вписанной окружности со стороной треугольника — середина проекции окружности на эту сторону, а проекция окружности равна диаметру окружности. Значит, расстояние от центра окружности до конца каждой проекции в \sqrt{2}
раз больше радиуса r
окружности. Следовательно, если O
— центр окружности, то все шесть указанных точек лежат на окружности с центром O
и радиусом r\sqrt{2}
.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1997 г., отборочный тур, 9 класс
Источник: Берлов С. Л., Иванов С. В., Кохась К. П. Петербургские математические олимпиады. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2003. — с. 99