4485. Точки K
, L
, M
и N
— середины сторон соответственно AB
, BC
, CD
и DA
вписанного четырёхугольника ABCD
. Докажите, что ортоцентры треугольников AKN
, BKL
, CLM
и DMN
являются вершинами параллелограмма.
Решение. Пусть H_{A}
, H_{B}
, H_{C}
и H_{D}
— ортоцентры треугольников AKN
, BKL
, CLM
и DMN
соответственно, O
— центр описанной окружности четырёхугольника ABCD
.
Поскольку OK\perp AB
и NH_{A}\perp AB
, то NH_{A}\parallel OK
. Аналогично, KH_{A}\parallel ON
. Значит, OKH_{A}N
— параллелограмм, и NH_{A}=OK
. Аналогично, LH_{B}\parallel OK
и LH_{B}=OK
, поэтому H_{A}H_{B}LN
— параллелограмм, и H_{A}H_{B}\parallel LN
и H_{A}H_{B}=LN
.
Точно так же докажем, что H_{C}H_{D}\parallel LN
и H_{C}H_{D}=LN
. Следовательно, H_{A}H_{B}H_{C}H_{B}
— параллелограмм.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1997 г., отборочный тур, 10 класс
Источник: Берлов С. Л., Иванов С. В., Кохась К. П. Петербургские математические олимпиады. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2003. — с. 101