4486. Окружности S_{1}
и S_{2}
пересекаются в точках A
и B
. На окружности S_{1}
взята точка Q
. Прямые QA
и QB
пересекают окружность S_{2}
в точках C
и D
. Касательные к окружности S_{1}
в точках A
и B
пересекаются в точке P
. Точка Q
расположена вне окружности S_{2}
, точки C
и D
— вне S_{1}
. Докажите, что прямая QP
проходит через середину отрезка CD
.
Решение. Обозначим \angle QDC=\beta
, \angle QCD=\gamma
. Четырёхугольник ABDC
— вписанный, поэтому
\angle ABQ=180^{\circ}-\angle ABD=\gamma,~\angle BAQ=180^{\circ}-\angle BAC=\beta.
Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle PAQ=180^{\circ}-\angle ABQ=180^{\circ}-\gamma,~\angle PBQ=180^{\circ}-\angle BAQ=180^{\circ}-\beta.
Пусть M
— точка пересечения прямых PQ
и CD
. Применяя теорему синусов к треугольникам QCM
и QDM
находим, что
\frac{CM}{\sin\angle CQM}=\frac{QM}{\sin\gamma},~\frac{DM}{\sin\angle DQM}=\frac{QM}{\sin\beta}.
Поэтому
\frac{CM}{DM}=\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}\cdot\frac{\sin\angle CQM}{\sin\angle DQM}.
Применяя теорему синусов к треугольникам APQ
и BPQ
находим, что
\frac{AP}{\sin\angle CQM}=\frac{QP}{\sin\angle PAQ}=\frac{QP}{\sin(180^{\circ}-\gamma)}=\frac{QP}{\sin\gamma},
\frac{BP}{\sin\angle DQM}=\frac{QP}{\sin PBQ}=\frac{QP}{\sin(180^{\circ}-\beta)}=\frac{QP}{\sin\beta}.
Поскольку AP=BP
, из последних равенств получаем, что
1=\frac{AP}{BP}=\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}\cdot\frac{\sin\angle CQM}{\sin\angle DQM}.
Тогда
\frac{CM}{DM}=\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}\cdot\frac{\sin\angle CQM}{\sin\angle DQM}=1.
Следовательно, CM=DM
.