4487. Пусть H
— ортоцентр треугольника ABC
, а K
— проекция точки H
на медиану BM
этого треугольника. Докажите, что точки A
, K
, H
и C
лежат на одной окружности.
Решение. На продолжении медианы BM
отложим отрезок MB'=MB
. Тогда ABCB'
— параллелограмм.
Поскольку AH\perp BC
и CH\perp AB
, то \angle HAB'=90^{\circ}
(AB'\parallel BC
) и \angle HCB'=90^{\circ}
(B'C\parallel AB
). Из точек K
, A
и C
отрезок HB'
виден под прямым углом, поэтому точки A
, K
и C
лежат на окружности с диаметром HB'
. Следовательно, точки A
, K
, H
и C
лежат на одной окружности.