4488. Угол при вершине B
треугольника ABC
равен 60^{\circ}
; AA_{1}
и CC_{1}
— высоты треугольника. На прямой, проходящей через вершину B
перпендикулярно A_{1}C_{1}
, выбрана точка M
, отличная от B
, причём \angle AMC=60^{\circ}
. Докажите, что \angle AMB=30^{\circ}
.
Решение. Пусть A'
— точка, симметричная точке A
относительно прямой BC
. Тогда BA'=AB
, CA'=CA
и точка A'
лежит на продолжении высоты AA_{1}
.
Пусть прямые BM
и A'C
пересекаются в точке N
. Обозначим \angle ABM=\varphi
. Тогда
\angle BC_{1}A_{1}=90^{\circ}-\varphi,~\angle BCA=\angle BC_{1}A_{1}=90^{\circ}-\varphi,
\angle AA'N=\angle AA'C=\angle CAA'=90^{\circ}-(90^{\circ}-\varphi)=\varphi.
Отрезок AN
виден из точек B
и A'
под одним и тем же углом \varphi
. Значит, точки B
, A'
, A
и N
лежат на одной окружности. Тогда из вписанного четырёхугольника ABA'N
находим, что
\angle ANC=180^{\circ}-\angle ABA'=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}=\angle AMC.
Поэтому точка N
совпадает с точкой M
. Следовательно,
\angle AMB=\angle A'MB=30^{\circ}
(вписанные углы AMB
и A'MB
опираются на равные хорды).
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Олимпиада ФМЛ № 239 (Санкт-Петербург). — 1997, 8-9 классы
Источник: Берлов С. Л., Иванов С. В., Кохась К. П. Петербургские математические олимпиады. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2003. — с. 104