4489. Пусть AF
— медиана треугольника ABC
, D
— середина отрезка AF
, E
— точка пересечения прямой CD
со стороной AB
. Оказалось, что BD=BF=CF
. Докажите, что AE=DE
.
Решение. Треугольник BDF
— равнобедренный, поэтому \angle BDF=\angle BFD
. Тогда
\angle ADB=180^{\circ}-\angle BDF=180^{\circ}-\angle BFD=\angle DFC.
Поэтому треугольники ADB
и DFC
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит,
\angle EAD=\angle BAD=\angle FDC=\angle ADE.
Следовательно, треугольник AED
— равнобедренный, и AE=DE
.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1998 г., первый тур, 8 класс
Источник: Берлов С. Л., Иванов С. В., Кохась К. П. Петербургские математические олимпиады. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2003. — с. 109