4490. Точки K
и L
на сторонах соответственно AB
и AC
остроугольного треугольника ABC
таковы, что KL\parallel BC
; M
— точка пересечения перпендикуляров, восставленных в точках K
и L
к отрезкам AB
и AC
. Докажите, что точки A
, M
и центр O
описанной окружности треугольника ABC
лежат на одной прямой.
Решение. Первый способ. Пусть D
и E
— середины сторон AB
и AC
соответственно (рис. 1). Заметим, что DE\parallel BC\parallel KL
, DO
— серединный перпендикуляр к отрезку AB
. Значит, DO\parallel KM
. Аналогично, OE\parallel LM
. Тогда гомотетия с центром в точке A
, переводящая точку E
в точку L
, переводит D
в K
, а O
в M
. Следовательно, точки A
, O
и M
лежат на одной прямой.
Второй способ. Обозначим \angle ABC=\beta
(рис. 2). Тогда центральный угол AOC
описанной окружности треугольника ABC
вдвое больше вписанного угла ABC
, т. е. равен 2\beta
. Из равнобедренного треугольника AOC
находим, что \angle CAO=90^{\circ}-\beta
.
Из точек K
и L
отрезок AM
виден под прямым углом, значит эти точки лежат на окружности с диаметром AM
. Вписанные в эту окружность углы AML
и AKL
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle AML=\angle AKL=\angle ABC=\beta
(KL\parallel BC
). Из прямоугольного треугольника AML
находим, что
\angle LAM=90^{\circ}-\angle AML=90^{\circ}-\beta=\angle CAO.
Следовательно, точки A
, O
и M
лежат на одной прямой.