4491. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
диагонали AC
и BD
равны. Кроме того,
\angle BAC=\angle ADB,~\angle CAD+\angle ADC=\angle ABD.
Найдите угол BAD
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Указание. На продолжении стороны CD
за точку C
отложите отрезок CF=AB
.
Решение. На продолжении стороны CD
за точку C
отложим отрезок CF=AB
. Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
\angle ACF=\angle CAD+\angle ADC=\angle ABD.
Поэтому треугольники ACF
и DBA
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит,
\angle CAF=\angle ADB=\angle BAC,
Следовательно, точки A
, B
и F
лежат на одной прямой. Кроме того, AF=AD
и \angle AFC=\angle BAD
. Значит, AD=DF
. Таким образом AF=AD=DF
, т. е. треугольник AFD
— равносторонний. Поэтому \angle BAD=60^{\circ}
.
Автор: Пастор А. В.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1998 г., первый тур, 10 класс
Источник: Берлов С. Л., Иванов С. В., Кохась К. П. Петербургские математические олимпиады. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2003. — с. 111