4495. Пусть O
— центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC
. Прямая BO
вторично пересекает описанную окружность в точке D
, а продолжение высоты, опущенной из вершины A
, пересекает окружность в точке E
. Докажите, что площадь четырёхугольника BECD
равна площади треугольника ABC
.
Указание. AECD
— равнобедренная трапеция.
Решение. Заметим, что \angle BCD=90^{\circ}
как вписанный угол, опирающийся на диаметр. Поэтому CD\parallel AE
. Значит, AECD
— равнобедренная трапеция.
Пусть H
— основание высоты треугольника ABC
, проведённой из вершины A
. Тогда
S_{BECD}=S_{\triangle BDC}+S_{\triangle BEC}=\frac{1}{2}BC\cdot CD+\frac{1}{2}BC\cdot EH=\frac{1}{2}BC(CD+EH),
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AH.
Осталось доказать, что CD+EH=AH
.
Обозначим, AE=a
, CD=b
. Поскольку AH
и HE
— проекции соответственно диагонали AC
и боковой стороны CE
равнобедренной трапеции AECD
на её основание AE
, то
HE=\frac{a-b}{2},~AH=\frac{a+b}{2}.
Значит,
CD+EH=b+\frac{a-b}{2}=\frac{a+b}{2}=AH.
Что и требовалось доказать.
Автор: Пратусевич М. Я.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1998 г., второй тур, 10 класс
Источник: Берлов С. Л., Иванов С. В., Кохась К. П. Петербургские математические олимпиады. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2003. — с. 119