4496. Диагонали параллелограмма ABCD
пересекаются в точке O
. Окружность, описанная вокруг треугольника ABO
, пересекает сторону AD
в точке E
. Окружность, описанная вокруг треугольника DOE
, пересекает отрезок BE
в точке F
. Докажите, что \angle BCA=\angle FCD
.
Решение. По теореме о вписанных углах и свойству вписанного четырёхугольника
\angle EFD=\angle EOD=\angle180^{\circ}-\angle BOE=\angle BAE=\angle BCD.
Поэтому
\angle BFD=180^{\circ}-\angle EFD=180^{\circ}-\angle BCD.
Значит, четырёхугольник BFDC
— вписанный. Тогда
\angle BCF=\angle BDF=\angle OEF=\angle OEB=\angle OAB=\angle OCD.
Следовательно, \angle BCA=\angle FCD
.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1998 г., отборочный тур, 9 класс
Источник: Берлов С. Л., Иванов С. В., Кохась К. П. Петербургские математические олимпиады. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2003. — с. 121