4497. На отрезке AC
как на основании в разных полуплоскостях построены равнобедренные треугольники ABC
и ADC
, причём \angle ADC=3\angle ACB
. AE
— биссектриса треугольника ABC
, отрезки DE
и AC
пересекаются в точке F
. Докажите, что треугольник CEF
— равнобедренный.
Решение. Положим \angle ACB=\angle CAB=2\alpha
. Тогда
\angle ADC=6\alpha,~\angle CAE=\alpha,~\angle AEC=180^{\circ}-\angle CAE-\angle ACE=180^{\circ}-3\alpha.
Заметим, что \alpha\lt30^{\circ}
, так как \angle ADC=6\alpha\lt180^{\circ}
.
Пусть O
— центр описанной окружности треугольника AEC
. Угол AEC
— тупой, поскольку
\angle AEC=180^{\circ}-3\alpha\gt180^{\circ}-3\cdot30^{\circ}=90^{\circ}.
Значит, точки O
и E
лежат по разные стороны от прямой AC
. Тогда
\angle AOC=360^{\circ}-2\angle AEC=360^{\circ}-2(180^{\circ}-3\alpha)=6\alpha.
Поскольку AOC
— равнобедренный треугольник с основанием AC
и углом 6\alpha
при вершине, он совпадает с треугольником ADC
. Таким образом, D
— центр описанной окружности треугольника AEC
. В частности, DE=DC
. Значит,
\angle DEC=\angle DCE=\angle ACE+\angle DCA=2\alpha+\frac{1}{2}(180^{\circ}-6\alpha)=90^{\circ}-\alpha,
\angle EFC=180^{\circ}-\angle FCE-\angle FEC=180^{\circ}-2\alpha-(90^{\circ}-\alpha)=90^{\circ}-\alpha.
Следовательно, треугольник CEF
— равнобедренный.