4499. На сторонах AB
и BC
треугольника ABC
выбраны точки K
и N
соответственно. M
— середина стороны AC
. Известно, что \angle BKM=\angle BNM
. Докажите, что перпендикуляры к сторонам исходного треугольника в точках K
, N
и M
пересекаются в одной точке.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Пусть точка S
— точка пересечения перпендикуляров, проведённых из точек M
и K
, T
— точка пересечения перпендикуляров, проведённых из точек M
и N
.
Четырёхугольник AMSK
— вписанный, поэтому
\angle SAM=\angle SKM=\angle BKM-90^{\circ}.
Аналогично,
\angle TCM=\angle BNM-90^{\circ}.
Значит, \angle SAM=\angle TCM
. Поскольку точки S
и T
лежат на серединном перпендикуляре к отрезку AC
, то они совпадают. Отсюда следует утверждение задачи.
Для остальных случаев аналогично.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Олимпиада ФМЛ № 239 (Санкт-Петербург). — 1998, 8-9 классы
Источник: Берлов С. Л., Иванов С. В., Кохась К. П. Петербургские математические олимпиады. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2003. — с. 126