4500. Пусть M
— середина отрезка AB
, O
— произвольная точка. Докажите, что \overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})
.
Указание. \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BM}
.
Решение. Сложив почленно равенства
\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM},~\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BM}.
получим:
2\overrightarrow{OM}=(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})+(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM})=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}.
Следовательно,
\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}).