4501. Пусть AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
— медианы треугольника ABC
. Докажите, что \overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{BB_{1}}+\overrightarrow{CC_{1}}=\overrightarrow{0}
.
Указание. \overrightarrow{AA_{1}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})
.
Решение. Сложив почленно равенства
\overrightarrow{AA_{1}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}),~\overrightarrow{BB_{1}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}),~\overrightarrow{CC_{1}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}),
получим, что
\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{BB_{1}}+\overrightarrow{CC_{1}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})=\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}.
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 378, с. 58
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 4.32, с. 44