4503. Пусть M
— точка пересечения медиан AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
треугольника ABC
. Докажите, что \overrightarrow{MA_{1}}+\overrightarrow{MB_{1}}+\overrightarrow{MC_{1}}=\overrightarrow{0}
.
Указание. Медианы треугольника делятся их точкой пересечения в отношении 2:1
, считая от вершины.
Решение. Пусть A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
— середины сторон соответственно BC
, AC
, AB
треугольника ABC
. Тогда
\overrightarrow{MA_{1}}+\overrightarrow{MB_{1}}+\overrightarrow{MC_{1}}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{BB_{1}}+\overrightarrow{CC_{1}})=\frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}.