4508. Даны два параллелограмма ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, у которых O
и O_{1}
—точки пересечения диагоналей. Докажите равенство \overrightarrow{OO_{1}}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{BB_{1}}+\overrightarrow{CC_{1}}+\overrightarrow{DD_{1}})
.
Указание. \overrightarrow{OO_{1}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{CC_{1}})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BB_{1}}+\overrightarrow{DD_{1}})
.
Решение. Сложив почленно равенства
\overrightarrow{OO_{1}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{CC_{1}}),~\overrightarrow{OO_{1}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BB_{1}}+\overrightarrow{DD_{1}})
(см. задачу 4504), получим, что
2\overrightarrow{OO_{1}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{BB_{1}}+\overrightarrow{CC_{1}}+\overrightarrow{DD_{1}}).
Следовательно,
\overrightarrow{OO_{1}}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{BB_{1}}+\overrightarrow{CC_{1}}+\overrightarrow{DD_{1}}).
Примечание. Утверждение верно для любых двух параллелограммов в пространстве.