4510. Пусть точки A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
— середины сторон соответственно BC
, AC
и AB
треугольника ABC
. Докажите, что для любой точки O
выполняется равенство \overrightarrow{OA_{1}}+\overrightarrow{OB_{1}}+\overrightarrow{OC_{1}}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}
.
Указание. \overrightarrow{OA_{1}}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AA_{1}}
.
Решение. (\overrightarrow{OA_{1}}+\overrightarrow{OB_{1}}+\overrightarrow{OC_{1}})-(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=(\overrightarrow{OA_{1}}-\overrightarrow{OA})+(\overrightarrow{OB_{1}}-\overrightarrow{OB})+(\overrightarrow{OC_{1}}-\overrightarrow{OC})=
=(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OA_{1}})+(\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OB_{1}})+(\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OC_{1}})=\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{BB_{1}}+\overrightarrow{CC_{1}}=\overrightarrow{0}.
Следовательно,
\overrightarrow{OA_{1}}+\overrightarrow{OB_{1}}+\overrightarrow{OC_{1}}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}.