4511. Докажите, что при произвольном выборе точки O
равенство \overrightarrow{OC}=k\overrightarrow{OA}+(1-k)\overrightarrow{OB}
является необходимым и достаточным условием принадлежности различных точек A
, B
, C
одной прямой.
Указание. Для того, чтобы точки A
, B
, C
лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы векторы \overrightarrow{BA}
и \overrightarrow{BC}
были коллинеарны.
Решение. Достаточность. Если \overrightarrow{OC}=k\overrightarrow{OA}+(1-k)\overrightarrow{OB}
, то
\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=k(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}),
или \overrightarrow{BC}=k\overrightarrow{BA}
. Следовательно, векторы \overrightarrow{BC}
и \overrightarrow{BA}
коллинеарны. Поэтому точки A
, B
и C
принадлежат одной прямой.
Необходимость. Если точки A
, B
, C
принадлежат одной прямой, то векторы \overrightarrow{BC}
и \overrightarrow{BA}
коллинеарны. Поэтому найдётся число k
такое, что \overrightarrow{BC}=k\overrightarrow{BA}
. Тогда
\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=k(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}),~\mbox{или}~\overrightarrow{OC}=k\overrightarrow{OA}+(1-k)\overrightarrow{OB}.