4514. Точка M
делит сторону BC
треугольника ABC
в отношении BM:MC=2:5
. Известно, что \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}
, \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}
. Найдите вектор \overrightarrow{AM}
.
Ответ. \frac{5}{7}\overrightarrow{a}+\frac{2}{7}\overrightarrow{b}
.
Решение. Заметим, что
\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM},~\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}.
Умножим обе части первого равенства на 5, а второго — на 2 и сложим почленно полученные равенства. Тогда
7\overrightarrow{AM}=5\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}+5\overrightarrow{BM}+2\overrightarrow{CM}=
=5\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{0}=5\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}.
Следовательно,
\overrightarrow{AM}=\frac{1}{7}(5\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC})=\frac{5}{7}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{7}\overrightarrow{AC}=\frac{5}{7}\overrightarrow{a}+\frac{2}{7}\overrightarrow{b}.