4515. Дан правильный шестиугольник ABCDEF
. Известно, что \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}
, \overrightarrow{AF}=\overrightarrow{b}
. Найдите векторы \overrightarrow{AD}
, \overrightarrow{BD}
, \overrightarrow{FD}
и \overrightarrow{BM}
, где M
— середина стороны EF
.
Ответ. \overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}
, \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}
, \overrightarrow{FD}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}
, \overrightarrow{BM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{3}{2}\overrightarrow{b}
.
Указание. Для любых трёх точек X
, Y
и Z
верно равенство
\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{XZ}+\overrightarrow{ZY}.
Решение. \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b};
\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{ED}=2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a};~\overrightarrow{FD}=\overrightarrow{FC}+\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}.
Пусть O
— центр данного шестиугольника, N
— середина OF
. Тогда
\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{b}-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{3}{2}\overrightarrow{b}.