4518. Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны и параллельны медианам данного треугольника.
Указание. Пусть AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
— медианы треугольника ABC
. Тогда
\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{BB_{1}}+\overrightarrow{CC_{1}}=\overrightarrow{0}.
Решение. Пусть AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
— медианы данного треугольника ABC
. От произвольной точки K
отложим вектор \overrightarrow{KM}=\overrightarrow{AA}_{1}
, от точки M
— вектор \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{CC_{1}}
, от точки N
— вектор \overrightarrow{NP}=\overrightarrow{CC_{1}}
. Тогда
\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{BB_{1}}+\overrightarrow{CC_{1}}=\overrightarrow{0}.
Поэтому точки K
и P
совпадают. Следовательно, треугольник KMN
— искомый.