4520. Пусть M_{1}
, M_{2}
, …, M_{6}
— середины сторон выпуклого шестиугольника A_{1}A_{2}\ldots A_{6}
. Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны и параллельны отрезкам M_{1}M_{2}
, M_{3}M_{4}
, M_{5}M_{6}
.
Указание. \overrightarrow{M_{1}M_{2}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{A_{1}A_{3}}
.
Решение. Пусть M_{1}
— середина A_{1}A_{2}
, M_{2}
— середина A_{2}A_{3}
и т. д. Тогда
\overrightarrow{M_{1}M_{2}}+\overrightarrow{M_{3}M_{4}}+\overrightarrow{M_{5}M_{6}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A_{1}A_{3}}+\overrightarrow{A_{3}A_{5}}+\overrightarrow{A_{5}A_{1}})=\frac{1}{2}\overrightarrow{A_{1}A_{1}}=\overrightarrow{0}.