4521. В неравнобедренном треугольнике ABC
точки H
и M
— точки пересечения высот и медиан соответственно. Через вершины A
, B
и C
проведены прямые, перпендикулярные прямым AM
, BM
, CM
соответственно. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника, образованного проведёнными прямыми, лежит на прямой MH
.
Решение. Пусть A'B'C'
— треугольник, образованный проведёнными прямыми, и G
— точка пересечения его медиан. Мы докажем, что M
является серединой отрезка GH
.
Достроим треугольник BMC
до параллелограмма BMCA_{1}
. Отрезок MA_{1}
делит сторону BC
пополам, поэтому A_{1}
лежит на прямой AM
, причём AM=A_{1}M
. Кроме того, BA_{1}\parallel MC\perp A'B'
и CA_{1}\parallel MB\perp A'C'
, поэтому BA_{1}
и CA_{1}
— высоты треугольника BA'C
. Значит, A_{1}
— ортоцентр этого треугольника и A'A_{1}\perp BC
.
Стороны треугольника BA_{1}M
перпендикулярны сторонам треугольника A'B'C'
соответственно, поэтому эти треугольники подобны, причём соответствующие прямые BC
и A'G
, содержащие медианы этих треугольников, перпендикулярны, а так как A'A_{1}\perp BC
, то прямые A'G
и A'A_{1}
совпадают. Следовательно, точка G
лежит на прямой A'A_{1}
Пусть G'
— точка, симметричная точке H
относительно M
. Треугольники AHM
и A_{1}G'M
симметричны относительно M
, поэтому A_{1}G'\parallel AH\perp BC
. Отсюда следует, что G'
лежит на прямой A'G
. Аналогично G'
лежит на прямой B'G
, т. е. G'
совпадает с G
.