4522. Пусть O
— центр правильного многоугольника A_{1}A_{2}A_{3}\ldots A_{n}
, X
— произвольная точка плоскости. Докажите, что:
а) \overrightarrow{OA_{1}}+\ldots+\overrightarrow{OA_{n}}=\overrightarrow{0}
;
б) \overrightarrow{XA_{1}}+\ldots+\overrightarrow{XA_{n}}=n\overrightarrow{XO}
.
Указание. Если при повороте на угол \alpha
(не кратный 360^{\circ}
) относительно начала вектор переходит сам в себя, то этот вектор — нулевой.
Решение. а) Обозначим \overrightarrow{OA}_{1}+\ldots+\overrightarrow{OA_{n}}=\overrightarrow{a}
. При повороте на угол \frac{360^{\circ}}{n}
вокруг точки O
точка A_{i}
переходит в точку A_{i+1}
(1\leqslant i\leqslant n-1)
, а точка A_{n}
— в точку A_{1}
. Поэтому вектор \overrightarrow{a}
при таком повороте переходит сам в себя. Следовательно, \overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}
.
б)
\overrightarrow{XA_{1}}+\ldots+\overrightarrow{XA_{n}}=(\overrightarrow{XO}+\overrightarrow{OA_{1}})+(\overrightarrow{XO}+\overrightarrow{OA_{2}})+\ldots+(\overrightarrow{XO}+\overrightarrow{OA_{n}})=
=n\overrightarrow{XO}+\overrightarrow{0}=n\overrightarrow{XO}.
Примечание. Оба утверждения — частные случаи известного свойства центра масс.