4524. Какую линию описывает середина отрезка между двумя пешеходами, равномерно идущими по прямым дорогам?
Ответ. Прямую.
Указание. Если M
и M_{1}
— середины отрезков AA_{1}
и BB_{1}
соответственно, то \overrightarrow{MM_{1}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{BB_{1}})
.
Решение. Пусть A
и B
— точки, в которых находились пешеходы в начале движения. Через некоторое время они оказались в точках A_{1}
и B_{1}
соответственно. Если M
и M_{1}
— середины отрезков AB
и A_{1}B_{1}
, то
\overrightarrow{MM_{1}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{BB_{1}})
(см. задачу 4504). Аналогично
\overrightarrow{MM_{2}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AA_{2}}+\overrightarrow{BB_{2}}),
где A_{2}
и B_{2}
— точки, в которых находились пешеходы ещё через некоторое время, а M_{2}
— середина отрезка A_{2}B_{2}
.
Поскольку скорости пешеходов постоянны, то \overrightarrow{AA_{2}}=k\overrightarrow{AA_{1}}
и \overrightarrow{BB_{2}}=k\overrightarrow{BB_{1}}
. Поэтому
\overrightarrow{MM_{2}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AA_{2}}+\overrightarrow{BB_{2}})=k\cdot\frac{1}{2}(\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{BB_{1}})=k\overrightarrow{MM_{1}}.
Следовательно, точки M_{1}
и M_{2}
лежат на прямой, проходящей через точку M
.