4525. Точки K
, N
, L
, M
расположены соответственно на сторонах AB
, BC
, CD
и AD
выпуклого четырёхугольника ABCD
, причём \frac{AK}{KB}=\frac{DL}{LC}=\alpha
, \frac{AM}{MD}=\frac{BN}{NC}=\beta
. Докажите, что точка пересечения P
отрезков KL
и MN
делит их в тех же отношениях, т. е. \frac{MP}{PN}=\alpha
, \frac{KP}{PL}=\beta
.
Указание. Пусть P_{1}
— такая точка отрезка MN
, для которой \frac{MP_{1}}{NP_{1}}=\alpha
(рис. 1). Докажите, что векторы \overrightarrow{KP_{1}}
и \overrightarrow{LP_{1}}
коллинеарны.
Решение. Пусть P_{1}
— такая точка отрезка MN
, для которой \frac{MP_{1}}{NP_{1}}=\alpha
(рис. 1). Докажем, что точка P_{1}
совпадает с точкой P
. Для этого достаточно доказать, что векторы \overrightarrow{KP_{1}}
и \overrightarrow{LP_{1}}
коллинеарны. Действительно,
\overrightarrow{KP_{1}}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MP_{1}},~\overrightarrow{KP_{1}}=\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{NP_{1}}.
Умножим обе части второго из этих равенств на \alpha
и сложим почленно полученное равенство с первым. Тогда
(1+\alpha)\overrightarrow{KP_{1}}=(\overrightarrow{KA}+\alpha\overrightarrow{KB})+(\overrightarrow{AM}+\alpha\overrightarrow{BN})+(\overrightarrow{MP_{1}}+\alpha\overrightarrow{NP_{1}})=
=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{AM}+\alpha\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{AM}+\alpha\overrightarrow{BN},
откуда
\overrightarrow{KP}=\frac{1}{1+\alpha}\overrightarrow{AM}+\frac{\alpha}{1+\alpha}\overrightarrow{BN}=-\frac{\beta}{1+\alpha}\overrightarrow{DM}-\frac{\alpha\beta}{1+\alpha}\overrightarrow{CN}.
Аналогично находим, что
\overrightarrow{LP_{1}}=\frac{1}{1+\alpha}\overrightarrow{DM}+\frac{\alpha}{1+\alpha}\overrightarrow{CN}.
Поэтому \overrightarrow{KP_{1}}=-\beta\overrightarrow{LP_{1}}
, т. е. векторы \overrightarrow{KP_{1}}
и \overrightarrow{LP_{1}}
коллинеарны. Следовательно, точки P
и P_{1}
совпадают и \frac{MP}{PN}=\alpha
, \frac{KP}{PL}=\beta
.
Примечание. Решение с использованием понятия центра тяжести (Квант, 1976, N9, с.49).
Расположим в точках A
, B
, C
, D
грузы с массами 1, \alpha
, \alpha\beta
и \beta
соответственно и найдём двумя способами центр тяжести этих четырёх грузов (рис. 2).
Центр тяжести грузов A(1)
и B(\alpha)
лежит в точке K
, грузов D(\beta)
и C(\alpha\beta)
— в точке L
. Значит, центр тяжести всех четырёх грузов лежит в точке P'
, делящей отрезок KL
в отношении
\frac{KP'}{P'L}=\frac{\beta+\alpha\beta}{1+\alpha}=\beta.
Аналогично, объединяя в пары грузы A(1)
и D(\beta)
, B(\alpha)
и C(\alpha\beta)
, докажем, что центр тяжести этих грузов лежит в точке P''
отрезка MN
, для которой \frac{MP''}{P''N}=\alpha
.
Поскольку центр тяжести принадлежит и KL
, и MN
, то он должен совпадать с точкой пересечения этих отрезков, т. е. точки P'
, P''
и P
совпадают.