4528. Проведены четыре радиуса OA
, OB
, OC
и OD
окружности с центром O
. Докажите, что если \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}
, то ABCD
— прямоугольник.
Указание. Если \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}
и \overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}
, то \overrightarrow{OM}
и \overrightarrow{ON}
— противоположные векторы.
Решение. Пусть M
и N
такие точки, что
\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD},~\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}.
Поскольку
\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0},
то \overrightarrow{OM}=-\overrightarrow{ON}
, т. е. \overrightarrow{OM}
и \overrightarrow{ON}
— противоположные векторы. Поэтому точки M
, O
и N
лежат на одной прямой.
Поскольку четырёхугольники OAMD
и OBNC
— ромбы, то AD\perp MN
и BC\perp MN
. Поэтому AD\parallel BC
. Аналогично докажем, что AB\parallel CD
. Значит, четырёхугольник ABCD
— параллелограмм, вписанный в окружность, т. е. прямоугольник.
Источник: Вступительный экзамен на математический факультет ЛГПИ им. Герцена. — 1981