4530. Продолжения высот треугольника ABC
делят описанную около треугольника ABC
окружность на дуги, длины которых относятся как p:q:r
. Найдите углы треугольника ABC
.
Ответ. \frac{\pi}{2}\cdot\frac{q+r}{p+q+r}
, \frac{\pi}{2}\cdot\frac{p+r}{p+q+r}
, \frac{\pi}{2}\cdot\frac{p+q}{p+q+r}
, если треугольник ABC
— остроугольный;
\frac{\pi}{2}\cdot\frac{q}{p+q+r}
, \frac{\pi}{2}\cdot\frac{r}{p+q+r}
, \frac{\pi}{2}\left(1+\frac{p}{p+q+r}\right)
, если треугольник ABC
— тупоугольный, причём угол BAC
— тупой.
Решение. Пусть \alpha
, \beta
и \gamma
углы при вершинах соответственно A
, B
и C
остроугольного треугольника ABC
(рис. 1), A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— точки пересечения продолжений высот треугольника ABC
, проведённых из вершин A
, B
и C
соответственно, причём \smile B_{1}AC_{1}:\smile A_{1}BC_{1}:\smile A_{1}CB_{1}=p:q:r
. тогда
\angle B_{1}A_{1}C_{1}=\frac{1}{2}\smile B_{1}AC_{1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2\pi p}{p+q+r}=\frac{\pi p}{p+q+r}.
С другой стороны,
\angle B_{1}A_{1}C_{1}=\angle B_{1}A_{1}A+\angle C_{1}A_{1}A=\angle B_{1}BA+\angle C_{1}CA=\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)+\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\pi-2\alpha.
Из уравнения \frac{\pi p}{p+q+r}=\pi-2\alpha
находим, что \alpha=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{q+r}{p+q+r}
. Аналогично, \beta=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{p+r}{p+q+r}
и \gamma=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{p+q}{p+q+r}
.
Пусть теперь в треугольнике ABC
угол BAC
— тупой (рис. 2). Тогда
\angle B_{1}A_{1}C_{1}=\angle B_{1}A_{1}A+\angle C_{1}A_{1}A=\angle B_{1}BA+\angle C_{1}CA=\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)+\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)=2\alpha-\pi.
Из уравнения \frac{\pi p}{p+q+r}=2\alpha-\pi
находим, что \alpha=\frac{\pi}{2}\left(1+\frac{p}{p+q+r}\right)
.
По свойству вписанного четырёхугольника
\angle A_{1}B_{1}C_{1}=\pi-\frac{1}{2}\smile A_{1}CC_{1}=\pi-\frac{\pi q}{p+q+r}.
С другой стороны,
\angle A_{1}B_{1}C_{1}=\pi-\angle A_{1}CC_{1}=\angle A_{1}CB+\angle C_{1}CB=\angle A_{1}AB+\angle C_{1}CB=\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)+\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)=\pi-2\beta.
Из уравнения \pi-\frac{\pi q}{p+q+r}=\pi-2\beta
находим, что \beta=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{q}{p+q+r}
. Аналогично, \gamma=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{r}{p+q+r}
.