4531. В треугольнике ABC
через точку M
, лежащую на стороне BC
, проведены прямые, параллельные сторонам AB
и AC
. Площадь образованного при этом параллелограмма составляет \frac{5}{18}
площади треугольника ABC
. Найдите отношение \frac{BM}{MC}
.
Ответ. 5:1
, 1:5
.
Решение. Пусть указанные прямые пересекают стороны AB
и AC
треугольника ABC
в точках K
и L
соответственно. Обозначим \frac{BM}{MC}=k
, S_{\triangle ABC}=S
. Треугольник KBM
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом \frac{k}{k+1}
, а треугольник LMC
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом \frac{1}{k+1}
, поэтому
S_{\triangle KBM}=\left(\frac{k}{k+1}\right)^{2}\cdot S_{\triangle ABC}=\left(\frac{k}{k+1}\right)^{2}\cdot S,
S_{\triangle LMC}=\left(\frac{1}{k+1}\right)^{2}\cdot S_{\triangle ABC}=\left(\frac{1}{k+1}\right)^{2}\cdot S.
Тогда, если S_{1}
— площадь параллелограмма AKML
, то
S_{1}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle KBM}-S_{\triangle LMC}=S-\left(\frac{k}{k+1}\right)^{2}\cdot S-\left(\frac{1}{k+1}\right)^{2}\cdot S=
=S\left(1-\frac{k^{2}}{(k+1)^{2}}-\frac{1}{(k+1)^{2}}\right)=\frac{2kS}{(k+1)^{2}}=\frac{5}{18}S,
откуда находим, что k=\frac{1}{5}
или k=5
.