4532. В треугольнике ABC
прямые, соединяющие вершины треугольника с центром вписанной окружности, делят эту окружность на дуги, длины которых относятся как p:q:r
. Найдите углы треугольника ABC
.
Ответ. \pi\cdot\frac{3p-q-r}{p+q+r}
, \pi\cdot\frac{3q-p+r}{p+q+r}
, \pi\cdot\frac{3r-p-q}{p+q+r}
.
Решение. Пусть \alpha
, \beta
и \gamma
углы при вершинах соответственно A
, B
и C
треугольника ABC
, O
— центр окружности, вписанной в треугольник, а длины дуг, заключённых внутри центральных углов соответственно AOC
, AOC
и AOB
, относятся как p:q:r
.
Поскольку BO
и CO
— биссектрисы углов треугольника,
\angle BOC=\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{\pi}{2}+\frac{\alpha}{2}
(см. задачу 4770), а так как \angle BOC=\frac{2\pi p}{p+q+r}
, то \frac{\pi}{2}+\frac{\alpha}{2}=\frac{2\pi p}{p+q+r}
, откуда \alpha=\pi\cdot\frac{3p-q-r}{p+q+r}
.
Аналогично находим, что \beta=\pi\cdot\frac{3q-p+r}{p+q+r}
и \gamma=\pi\cdot\frac{3r-p-q}{p+q+r}
.