4533. В треугольнике ABC
через основание D
высоты BD
проведена прямая параллельно стороне AB
до пересечения со стороной BC
в точке K
. Найдите отношение \frac{BK}{KC}
, если площадь треугольника BDK
составляет \frac{3}{16}
площади треугольника ABC
.
Ответ. 3:1
, 1:3
.
Решение. Пусть S
— площадь треугольника ABC
. Обозначим \frac{AD}{DC}=\frac{BK}{KC}=k
. Треугольник DKC
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом \frac{1}{k+1}
, поэтому
S_{\triangle DKC}=\frac{1}{(k+1)^{2}}\cdot S_{\triangle ABC}=\frac{1}{(k+1)^{2}}\cdot S,
а так как \frac{AD}{AC}=\frac{BK}{BC}=\frac{k}{k+1}
, то
S_{\triangle ADB}=\frac{AD}{AC}\cdot S_{\triangle ABC}=\frac{k}{k+1}\cdot S.
По условию задачи
S_{\triangle ABC}-S_{\triangle DKC}-S_{\triangle ADB}=S_{\triangle BDK}=\frac{3}{16}S,
или
S\left(1-\frac{1}{(k+1)^{2}}-\frac{k}{k+1}\right)=\frac{3}{16}S,
откуда находим, что k=\frac{1}{3}
или k=3
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1973, билет 4, № 2
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 73-4-2, с. 161