4534. Из вершины A
треугольника ABC
проведены биссектрисы внутреннего и внешнего углов, пересекающие прямую BC
в точках D
и E
соответственно. Найдите отношение \frac{AB}{AC}
, если \frac{BD}{BE}=\frac{3}{5}
.
Ответ. 1:4
или 4:1
.
Решение. По свойству биссектрис внутреннего и внешнего углов треугольника \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}=\frac{BE}{CE}
.
Пусть точка E
лежит на продолжении стороны BC
за точку B
. Положим BD=3x
, BE=5x
, DC=y
. Тогда
\frac{3x}{y}=\frac{AB}{AC}=\frac{5x}{8x+y},
откуда находим, что y=12x
. Следовательно,
\frac{AB}{AC}=\frac{3x}{y}=\frac{3x}{12x}=\frac{1}{4}.
Если же точка точка E
лежит на продолжении стороны BC
за точку C
, то аналогично найдём, что \frac{AB}{AC}=\frac{4}{1}
.